Дроби: бесконечный детектив математики

Делимся с вами самыми интересными, на наш взгляд, фрагментами передачи «Школьная программа для взрослых. Математика. Дроби: зачем делить числа на части». В этом выпуске вы узнаете, как грамотно оплачивать кредиты, отвечать на вопросы-ловушки о дробях на собеседованиях и поровну делить на двоих вкусный торт с розочкой. А также что делать, если кто-то откусывает слишком много (и при чём тут лиса и медведи). Обо всём этом ведущему радио «Маяк» Игорю Ружейникову рассказал директор по производству и учебно-методической части «ИнтернетУрока» Юрий Валериевич Гребенюк.

Дети, математики и гуманитарии по-разному делят яблоки

Допустим, есть яблоко, которое нужно разделить на троих. Веселее всего это сделают дети: «Каждому по яблоку, но я беру первым». Если взрослый будет делить яблоко из своих геометрических представлений, то получатся три равные части. Хотя разделить таким образом на практике вряд ли получится. 

«Математик разделит яблоко на трёх человек с точностью до грамма, используя десятичные дроби. Конечно, поровну 1 на 3 разделить не получится. Результат будет в виде 0,33333333… — с тройкой в периоде до бесконечной точности. А точность, которую мы сможем получить на практике, будет зависеть от весов». 

Как решить парадокс с яблоками

Есть известная логическая ловушка про треть от тарелки яблок:

В одной тарелке 6 яблок и в другой — 6 яблок. 

Если сложить все яблоки в общую тарелку, получаем 6 + 6 = 12 яблок.

Берём 2 яблока из первой тарелки (2 из 6). Это ⅓ первой тарелки.

Берём 2 из второй тарелки (тоже 2 из 6). И это тоже ⅓, но уже второй тарелки.

Получили 4 яблока из 12. И это тоже ⅓ всех яблок.

«Кажется, какая-то ошибка: мы сложили ⅓ + ⅓. И как будто бы получили в сумме ⅓. Но парадокса нет. В школе учителя часто забывают акцентировать внимание детей на том, что в реальном мире дробь — это часть чего-то, то есть всегда берётся от какого-то количества. Поэтому верным будет равенство: ⅓ от 6 + ⅓ от 6 = ⅓  от 12 (от другого количества). А вот если убрать из уравнения количество, от которого брали дробь (6, 6 и 12), конечно, получится неверное равенство».

Наименьшее кратное — как лезть в гору напрямик

«Допустим, мы хотим сложить 1/20 и 1/30. Если у нас общее количество — это 60, то задача решается легко. 1/20 от 60 — это 3 части; 1/30 от 60 — это 2 части. То есть всего получится 5 частей из 60, или 5/60. Можно сократить — будет 1/12. А что делать, если общее количество не равно 60? Очень просто, мысленно разбить его на 60 частей. Почему на 60? Потому что 60 делится и на 20, и на 30. 

В математике это формулируется так: нужно найти общий знаменатель, который делится и на 20, и на 30. В школе большую важность придают технике, поэтому учат искать наименьшее общее кратное — наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. В нашем примере это 60. Получается 3/60 + 2/60 = 5/60 = 1/12.

А можно найти общий знаменатель проще: умножить 20 на 30. Тогда задача решается так: 30/600 + 20/600 = 50/600 = 1/12.

Обычному человеку необязательно помнить про наименьшее кратное. Это как подниматься на гору. Есть длинный, но простой с точки зрения преодоления путь: по кругу, по серпантину. Как и знаменатели — можно их перемножить и получить общий знаменатель, который будет делиться на исходные. Это долго, но правильно. А можно подняться в гору по прямой. Тем, у кого хорошие навыки “скалолазания”, то есть кто разобрался с наименьшим кратным, будет легче напрямик и ближе этот классический школьный метод. Но это необязательно. Правильный ответ вы получите и если “поднимитесь по серпантину”, то есть перемножите знаменатели». 

Как решить задачу-ловушку про рост и падение цены на 10 %?

На собеседованиях нередко задают задачу на проценты с подвохом: «Цена выросла на 10 %, а потом упала на 10 %. Станет ли она прежней?» Разбираемся, как её решить. 

«В таких задачах важно помнить, от чего именно считаем процент. В первый раз считаем от стартовой цены и поэтому получим рост: было 100, стало 110. А потом, когда говорим, что снизилась, то считаем проценты уже от новой цены. Поскольку новая цена больше, то и 10 % от неё тоже больше: 10 % от 110 — это 11. После снижения цена станет равной 110 – 11 = 99. Соответственно, правильный ответ: нет, цена не стала прежней. Она стала меньше на 1 %».

Ведущий радио «Маяк» Игорь Ружейников:

«Точно так же важно считать и проценты по кредитам. Многие бизнесы существуют на заёмные деньги. Процент по таким кредитам как будто бы один и тот же в течение года, но нужно считать и смотреть каждый месяц. Похожая ситуация и с микрокредитами. Она напоминает историю, почему правитель так и не смог рассчитаться с изобретателем шахмат».

Шпаргалка редакции Журнала «ИнтернетУрок»

Почему с изобретателем шахмат не смогли расплатиться

По одной из версий, изобретателем шахмат считают брахмана-дравида из касты велаларов по имени Сиссу бен Дахира. По легенде, правителю Индии царю Шераму так понравилась игра в шахматы, что он предложил изобретателю самому выбрать себе награду. Сисса попросил за первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы и дальше удваивать количество зёрен за каждую клетку: за второе — два, за третье — четыре, за четвёртое — восемь и так далее.  

Неделю спустя казначей показал царю расчёты и сказал, что расплатиться невозможно. А правитель в отместку повелел Сиссу пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что ему выдали все зёрна. 

Кажется невозможным? А вы попробуйте посчитать сами. Если не собьётесь, то в результате получите 18 446 744 073 709 551 615 зёрен. Их общая масса составит примерно 1 200 000 000 000 тонн. Естественно, ни столько зерна, ни верблюдов под такую массу не нашлось бы ни в Индии, ни за её пределами.

Как разделить торт на двоих без дробей

«В детстве на меня произвела впечатление сказка про двух медвежат и лисицу. Медвежата не могли между собой поделить сыр, а лиса вызвалась им помочь. Она разделила сыр на два явно разных куска. Затем откусила от большего, чтобы уравнять, но специально сделала так, чтобы они снова стали неравными. И так откусывала до тех пор, пока не оставила медвежатам два маленьких кусочка. Однако есть способ поделить такие вещи: один делит, второй выбирает. Например, если я разрезаю торт, а выбирает другой человек. Тогда мне нет смысла делать кусок сильно больше, потому что другой человек явно выберет кусок покрупнеее». 

И это ещё не всё! Послушайте целиком подкаст «Школьная программа для взрослых. Математика. Дроби: зачем делить числа на части» на радио «Маяк»! Вы узнаете, как по уму разделить муку в походе и много других интересных фактов о дробях и процентах.